% 10я лекция.
\section{Пространство $\LInf$}
Философское отступление: в зависимости от значения величины $p$ минимизация нормы управления следующим образом соотносится с физическими характеристиками:
\begin{itemize}
	\item $p = 1$ --- минимизируем топливо (этот случай мы не рассматриваем, потому что пространство $\LOne$ не рефлексивно, и задача может не иметь решения); % TODO: написать про спутник?
	\item $p = 2$ --- минимизируем энергию; % живую силу - vis visa
	\item $p = \infty$ --- минимизируем силу. % просто vis
\end{itemize}

% ^
% |
% L хотя это лучше вообще засунуть в начало (или конец, если хронологически) 9ой лекции

Займёмся теперь управлением с минимальной силой.
Норма в $\LInf$ по определению вводится как
\begin{equation*}
	\norm{u}_\LInf \eqdef \underset{\tau \in [t_0, t_1]}{\esssup} \norm{u(\tau)} = \underset{\tau \in [t_0, t_1]}{\vraimax} \norm{u(\tau)} = \inf\limits_{E: \mu(E) = 0} \sup\limits_{[t_0, t_1] \setminus E} \norm{u(\tau)},
\end{equation*} % TODO: решить проблему с разными высотами нижних слов
т.\,е. существенный супремум (супремум, который вычисляется почти всюду на отрезке). % TODO: сформулировать грамотнее

Введём множество достижимости: $\soa_\mu[t_1] = \left\{ \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, \tau) B(\tau) u(\tau) d\tau \right\}$.
\begin{stm}
	$\soa_\mu[t_1] \in \conv \real^n$.
\end{stm}
\begin{proof} Докажем выпуклость, ограниченность и замкнутость множества достижимости:\\
	\emph{Выпуклость}: Доказывается аналогично случаю $\Lp$;\\ %жульничаем
	\emph{Ограниченность}: Доказывается аналогично случаю $\Lp$;\\ % тот же трюк
	\emph{Замкнутость}: Единичный шар в $\LInf$, вообще говоря, не является слабо компактным.\\
	% дальше в лекции было отступление о рефлексивных пространствах и их соотношении со слабой компактностью шара
	% как доказывается это место я не понимаю, посему пишу наобум
	Рассмотрим последовательность функций $u^j$: 
	$$u^j \in \LInf,\ \norm{u^j} \leq \mu,\ c^j = \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, \tau) B(\tau) u^j(\tau) d\tau.$$ 
	Тогда $u^j \in \LTwo$ и $\norm{u^j}_\LTwo \leq \mu |t_1 - t_0|$. В пространстве $\LTwo$ со сходимостью всё в порядке: $u^j\xrightarrow[\LTwo, j\rightarrow\infty]{\text{слабо}}u^0$. По теореме Лебега предел $u^0$ тоже ограничен: $\norm{u^0} \leq \mu$. Ещё заметим, что произведение $X(t_1, \tau) B(\tau)$ непрерывно, если функция $B(\tau)$ непрерывна. В итоге:
	\begin{itemize}
		\item $u^0 \in \LInf$;
		\item $c^j \xrightarrow[j \rightarrow \infty]{} c = \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, \tau) B(\tau) u^0(\tau) d \tau$.
	\end{itemize}
\end{proof}

Найдём опорную функцию множества достижимости (считаем, что внутренняя норма $\norm{u(\tau)}$ евклидова):
\begin{multline*}
	\sufu{l}{\soa_\mu[t_1]} = \sup\limits_{u(\cdot)} \int\limits_{t_0}^{t_1} \scalar{\underbrace{B^T(\tau) X^T(t_1, \tau) l}_{s(\tau)}}{u(\tau)} d \tau \stackrel{\text{К.--Б.}}{\leqslant} \sup_{u(\cdot)} \int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{s(\tau)} \cdot \norm{u(\tau)} d\tau \leq{} \\ {}\leq \mu \int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{s(\tau)} d \tau = \mu \norm{s(\cdot)}_\LOne.
\end{multline*}
Найдём максимизатор:
\begin{equation*}
	u^l(\tau) = \lambda(\tau) B^T(\tau) X^T(t_1, \tau) l, \quad \lambda(\tau) \geq 0.
\end{equation*}
Хотим показать, что для п.\,в. $\tau \in \set{t}{\norm{s(\tau)} \ne 0}$ верно, что $\norm{u(\tau)} = \mu$.
Предположим противное. Тогда $\exists A \subseteq \set{t}{\norm{s(\tau)} \ne 0} : \mu(A) \ne 0, \forall \tau \in A \norm{u(\tau)} \leq \mu - \varepsilon$.
Разбиваем исходный интеграл на два: на множестве $A$ и на дополнении $A$. Тогда он на множестве меры $\mu(A)$ больше максимума. % видимо так, не понял почему
Получили противоречие.\\
Итак, $u^l(\tau) = \mu \dfrac{B^T(\tau) X^T(t_1, \tau) l}{\norm{B^T(\tau) X^T(t_1, \tau) l}}$.\\
В конечном счёте,
\begin{equation*}
	u^l(\tau) = \begin{cases}
					\mu \dfrac{s(\tau)}{\norm{s(\tau)}}, & s(\tau) \ne 0,\\
					\text{любое}, & s(\tau) = 0.
				\end{cases}
\end{equation*}
Потенциально, максимум может достигаться не в одной точке.\\ % TODO: вставить картинку с множеством, у которого есть сторона, показав, что условие совпадения значения для u^l(\tau) не является достаточным
Тогда $$\mu^0 = \sup\limits_{l \ne 0} \dfrac{\scalar{l}{c}}{\int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{s(\tau)} d \tau}, \quad l^0 \in \underset{\text{не $(\norm{s(\tau)} \stackrel{\text{п.\,в.}}{=} 0)$}}{\Argmax} \dfrac{\scalar{l}{c}}{\int\limits_{t_0}^{t_1} \norm{s(\tau)} d \tau}.$$\\ % FIXME: если взглянуть на то, что выше в pdf-файле, то будет видна чёткая вертикаль, что не очень хорошо смотрится
Необходимое условие оптимальности: $s^0 (\tau) = B^T(\tau) X^T(t_1, \tau) l^0$. Если $u^*$ решает задачу, то $\forall \tau: s^0(\tau) \ne 0, u^*(\tau) = \dfrac{s^o(\tau)}{\mu \norm{s^0(\tau)}}$ (утверждение в обратную сторону, вообще говоря, неверно). Или же $u^*(\tau) \in \underset{\norm{u} \leq \mu}{\Argmax} \scalar{s^0(\tau)}{u}$, т.\,е. $\scalar{s^0(\tau)}{u^*(\tau)} = \max\limits_{\norm{u} \leq \mu} \scalar{s^0(\tau)}{u}$. 
% почти что п.м.Понтрягина!!!

\section{Принцип максимума Понтрягина}
Рассмотрим $\psi(\tau) = X^T(t_1, \tau) l$, рассмотрим сопряжённую систему
\begin{equation*}
	\left\{
	\begin{array}{rcl}
		\dot \psi &=& -A^T(t) \psi,\\
		\psi(t_1) &=& l.
	\end{array}
	\right.
\end{equation*}

\begin{theorem}[Принцип максимума Понтрягина, ПМП]
	$u^*$ решает нашу задачу $\Rightarrow \exists\, l^0 \ne 0 : \exists\, \psi^0 \ncong 0: 
	\left\{
	\begin{array}{rclcl}
		\dot \psi^0 &=& -A^T \psi,\\
		\psi^0(t_1) &=& l^0
	\end{array}
	\right.$ и % FIXME: нет значка \nequiv
	\begin{equation*}
		\scalar{B^T(\tau) \psi^0(\tau)}{u^*(\tau)} \stackrel{\text{п.\,в.}}{=} \underset{\norm{u} \leq \mu}{\max} \scalar{B^T(\tau) \psi^0(\tau)}{u}.
	\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
	% FIXME: надо что-то написать сюды. У меня написано, что была какая-то лемма, может на неё сослаться =)
\end{proof}

Когда можно утверждать, что $s^0(\tau) \ne 0$ всюду?\\ 
% (а может почти всюду?)
% может стоить сделать как subsection?
% TODO: надо грамотно сформулировать вопрос и аккуратно оформить

$B, X$ --- хорошие, непрерывные; рассмотрим, когда $s^0(\tau) = B^T(\tau) X^T(t_1, \tau) l^0 = 0$.
% TODO: где-то здесь картинка
Если $s^0(\tau) = 0$ при $\tau \in (\Tilde{t_0}, \Tilde{t_1})$, то наша система не является вполне управляемой на $(\Tilde{t_0}, \Tilde{t_1})$. Тогда ПМП превращается в достаточное условие путём требования полной управляемости на любом интервале.
\begin{stm}
	$A = \const, B = \const$, пара $(A, B)$ --- управляема. Тогда $u^*$ решает нашу задачу $\Leftrightarrow \scalar{s^0(\tau)}{u^*(\tau)} \stackrel{\text{п.\,в.}}{=} \underset{\norm{u} \leq \mu}{\max} \scalar{s^0(\tau)}{u}$.
\end{stm}
% TODO: Правильно прокомментировать примеры (на лекции про первый пример было сказано в духе "когда всё плохо")
Рассмотрим два примера:
\begin{ex}[Когда всё плохо (а может, несмотря ни на что, очень даже хорошо)]
	\begin{equation*}
		\left\{
		\begin{array}{rclcl}
			\dot x_1 &=& u,\\
			\dot x_2 &=& u,
		\end{array}
		\right.
		\quad \abs{u} \leq 1.
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		x^0 = \left(
				\begin{array}{c}
					0\\
					0
				\end{array}
			  \right)
		, \quad
		x^1 = \left(
				\begin{array}{c}
					1\\
					1
				\end{array}
			  \right).
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		A = E, \quad B = \left(
							\begin{array}{c}
								1\\
								1
							\end{array}
						 \right).
	\end{equation*}
	Задача моментов: 
	$ \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} 
	\left(
		\begin{array}{c}
			1\\
			1
		\end{array}
	\right)
	u d \tau = 
	\left(
		\begin{array}{c}
			1\\
			1
		\end{array}
	\right)$
	\begin{equation*}
		t_0 = 0, \quad t_1 = 2.
	\end{equation*}
	Скалярно умножим на $l(l_1, l_2)$ и максимизируем: $\underset{u(\cdot)}{\max} \displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} (l_1 + l_2) u(\tau) d \tau = 2 \mu (l_1 + l_2),$
	\begin{equation*}
		\sup\limits_{l_1+l_2 \ne 0} \dfrac{l_1 + l_2}{2 \abs{l_1 + l_2}} = \dfrac{1}{2} = u.
	\end{equation*}
	То есть сидим и ждём момента. % FIXME: прояснить
	\\ Множество достижимости является отрезком.
	% TODO: можно вставить картинку множества достижимости
\end{ex}

\begin{ex}[А вот здесь уже кажется и плохо бывает, и хорошо]
	\begin{equation*}
		\left\{
		\begin{array}{rclcl}
			\dot x_1 &=& u - 1,\\
			\dot x_2 &=& u + 1,
		\end{array}
		\right.
		\quad \abs{u} \leq 1.
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		x^0 = \left(
				\begin{array}{c}
					0\\
					0
				\end{array}
			  \right)
		, \quad
		x^1 = \left(
				\begin{array}{c}
					-1\\
					1
				\end{array}
			  \right).
	\end{equation*}
	\begin{multline*}
	\displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} 
	\left(
		\begin{array}{c}
			1\\
			1
		\end{array}
	\right)
	u d \tau = 
	\left(
		\begin{array}{c}
			-1\\
			1
		\end{array}
	\right)
	- (t_1 - t_0)
	\left(
		\begin{array}{c}
			-1\\
			1
		\end{array}
	\right)
	=
	(1 + t_0 - t_1)
	\left(
		\begin{array}{c}
			-1\\
			1
		\end{array}
	\right)
	={}\\
	{}=\left\{ t_0 = 0; \text{Тогда при $t_1 \ne 1$ задача неразрешима; далее $t_1 = 1$}\right\} = 
	\left(
		\begin{array}{c}
			0\\
			0
		\end{array}
	\right).
	\end{multline*}
	То есть при $t_1 = 1$ задача разрешима.\\
	Если же 
	$x^1 = \left(
		\begin{array}{c}
			1\\
			0
		\end{array}
	\right),$
	то
	$
		\displaystyle\int\limits_{t_0}^{t_1} 
	\left(
		\begin{array}{c}
			1\\
			1
		\end{array}
	\right)
	u d \tau = 
	\left(
		\begin{array}{c}
			t_1 - t_0\\
			1 + t_0 - t_1
		\end{array}
	\right).
	$\\
	Считаем, что $t_0 = 0$. Система разрешима только при $t_1 = 1 - t_1$, т.\,е. при $t_1 = \dfrac{1}{2}$. Тогда интеграл равен 
	$
	\left(
		\begin{array}{c}
			1/2\\
			1/2
		\end{array}
	\right)
	$,
	$
		\mu^0 = \sup \dfrac{\frac{1}{2} (l_1 + l_2)}{\frac{1}{2} \abs{l_1 + l_2}}.
	$

	% TODO: можно вставить картинку множества достижимости, которое расширяется
\end{ex}

